並列共振回路
次の回路の共振周波数\(f_0\)を求める。
求める
角周波数\(\omega = 2{\pi}f\)とする。
全体のインピーダンス\(Z\)は以下について、以下が成り立つ。
\[
\begin{align}
\frac{1}{Z} &= \frac{1}{R} + \frac{1}{j{\omega}L} + j{\omega}C \\
&= \frac{j{\omega}L + R - {\omega}^2RLC}{j{\omega}RL} \\
&= \frac{-{\omega}L + jR - j{\omega}^2RLC}{-{\omega}RL} \\
&= \frac{{\omega}L - jR + j{\omega}^2RLC}{{\omega}RL} \\
&= \frac{{\omega}L + jR({\omega}^2LC - 1)}{{\omega}RL}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
Z &= \frac{{\omega}RL}{{\omega}L + jR({\omega}^2LC - 1)} \\
&= \frac{{\omega}RL}{{\omega}L + jR({\omega}^2LC - 1)} \times \frac{{\omega}L - jR({\omega}^2LC - 1)}{{\omega}L - jR({\omega}^2LC - 1)} \\
&= \frac{{\omega}^2RL^2 -j{\omega}R^2L({\omega}^2LC - 1)}{{\omega}^2L^2 + R^2({\omega}^2LC - 1)} \\
&= \frac{{\omega}^2RL^2}{{\omega}^2L^2 + R^2({\omega}^2LC - 1)} -j \frac{{\omega}R^2L({\omega}^2LC - 1)}{{\omega}^2L^2 + R^2({\omega}^2LC - 1)}
\end{align}
\]
\(\omega=\omega_0\)で共振時、虚数部は 0 になる。\(\omega_0 > 0\)、\(R > 0\)、\(L > 0\)なので、以下が成り立つ。
\[
\begin{align}
{\omega_0}^2LC - 1 &= 0 \\
{\omega_0}^2 &= \frac{1}{LC}
\end{align}
\]
\(\omega_0 > 0\)なので、
\[
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
\]
\(\omega_0 = 2{\pi}f_0\)であるから、
\[
\begin{align}
2{\pi}f_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\
f_0 &= \frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}
\end{align}
\]