直列共振回路
次の回路の共振周波数\(f_0\)を求める。
虚数 j について
虚数\(j\)について以下が成り立つ。
\[
j = -\frac{1}{j}
\]
\[
左辺 = j = j \times \frac{j}{j} = \frac{j^2}{j} = -\frac{1}{j} = 右辺
\]
\[
\huge{Q.E.D.}
\]
求める
角周波数\(\omega = 2{\pi}f\)とする。
コイル\(L\)のインピーダンス\(Z_L\)は以下である。
\[
Z_L = j{\omega}L
\]
コンデンサ\(C\)のインピーダンス\(Z_C\)は以下である。
\[
Z_C = \frac{1}{j{\omega}C}
\]
全体のインピーダンス\(Z\)は以下となる。
\[
\begin{align}
Z &= R + j{\omega}L + \frac{1}{j{\omega}C} \\
&= R + j({\omega}L - \frac{1}{{\omega}C})
\end{align}
\]
\(\omega = \omega_0\)で共振時、\(Z\)の虚数部は 0 になるので、以下が成り立つ。
\[
\begin{align}
{\omega_0}L - \frac{1}{{\omega_0}C} &= 0 \\
{\omega_0}L &= \frac{1}{{\omega_0}C} \\
{\omega_0}^2 &= \frac{1}{LC}
\end{align}
\]
\(\omega_0 > 0\)より、
\[
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
\]
\(\omega_0 = 2{\pi}f_0\)であるから、
\[
\begin{align}
2{\pi}f_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\
f_0 &= \frac{1}{2{\pi}\sqrt{LC}}
\end{align}
\]