微分
書き方
関数\(f(x)\)上の点同士、しかもとても近い点同士の傾きを出すとそれは微分である。\(f'(x)\)を導関数という。
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{f(x)}{dx}
\]
\(h\)は\(\Delta{x}\)と表現されることもある。
\(x^n\)の導関数
\(f(x) = x^n\)について、\(n\)が正の整数のとき\(f'(x) = nx^{n-1}\)
- \(f(x) = 1\)のとき\(f'(x) = 0\)
- \(f(x) = x\)のとき\(f'(x) = 1\)
- \(f(x) = x^2\)のとき\(f'(x) = 2x\)
- \(f(x) = x^3\)のとき\(f'(x) = 3x^2\)
微分法の基本公式
以下のように、足し算(または引き算)の微分は微分の足し算(または引き算)に置き換えることができる。
\(f(x)\)と\(g(x)\)が微分可能のとき、以下が成り立つ。(\(k\)、\(l\)は定数)
\[
\{kf(x) + lg(x)\}' = kf'(x) + lg'(x)
\]
積の微分法
\(f(x)\)と\(g(x)\)が微分可能のとき、以下が成り立つ。
\[
\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\]
商の微分法
\(f(x)\)と\(g(x)\)が微分可能かつ、\(g(x) \neq 0\)のとき、以下が成り立つ。
\[
\begin{align}
\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' &= -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2} \\
\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' &= -\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{align}
\]
合成関数の微分公式
\[
\{ f(g(x)) \}' = f'(g(x)) g'(x)
\]
応用
以下を解く。
\[
\frac{\partial}{\partial{x}}\frac{1}{x^2 + y^2}
\]
関数を 2 つに分ける。
\[
\begin{gather}
g(x) &= x^2 + y^2 \\
f(g(x)) &= \frac{1}{g(x)}
\end{gather}
\]
それぞれ微分する。
\[
\frac{\partial{g(x)}}{\partial{x}} = 2x
\]
\[
\frac{\partial{f(g(x))}}{\partial{x}} = -\frac{1}{{g(x)}^2}
\]
合成関数の微分公式より
\[
\frac{\partial{f(g(x))}}{\partial{x}} = \frac{\partial{f(g(x))}}{\partial{x}} \frac{\partial{g(x)}}{\partial{x}} = 2x \{-\frac{1}{(x^2 + y^2)^2}\} = -\frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}
\]
三角関数の導関数
\[
\begin{gather}
\mathrm{sin}'{x} = \mathrm{cos}{x} \\
\mathrm{cos}'{x} = -\mathrm{sin}{x} \\
\mathrm{tan}'{x} = \frac{1}{\mathrm{cos}^2{x}}
\end{gather}
\]
\(\mathrm{sin}'{x} = \mathrm{cos}{x}\)の証明
極限や三角関数の加法定理を使うと証明できる。
\[
\begin{align}
左辺 = \mathrm{sin}'{x} &= \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{sin}{(x + h)} - \mathrm{sin}{x}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{sin}{x}\mathrm{cos}{h} + \mathrm{cos}{x}\mathrm{sin}{x} - \mathrm{sin}{x}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{cos}{x}\mathrm{sin}{h} - \mathrm{sin}{x}(1 - \mathrm{cos}{h})}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \left\{\mathrm{cos}{x}\frac{\sin{h}}{h} - \mathrm{sin}{x}\frac{1 - \mathrm{cos}{h}}{h^2}h\right\}
\end{align}
\]
ここで、
\[
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{sin}{h}}{h} = 1
\]
(これの導出は三角形を描いて行うのが面倒なので省略する。数学 I のテキストを参照するか、sinc 関数を見て感じ取ること)
また、
\[
\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{1 - \mathrm{cos}{h}}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{(1 - \mathrm{cos}{h})(1 + \mathrm{cos}{h})}{h^2(1 + \mathrm{cos}{h})} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{1 - \mathrm{cos}^2{h}}{h^2(1 + \mathrm{cos}{h})} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{sin}^2{h}}{h^2(1 + \mathrm{cos}{h})} \\
&= \lim_{h \to 0} \left\{ \frac{\mathrm{sin}{h}}{h} \right\}^2\frac{1}{1 + \mathrm{cos}{h}} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
\]
なので、
\[
\begin{align}
左辺 = \mathrm{sin}'{x} &= \lim_{h \to 0} \left\{ \mathrm{cos}{x} \cdot 1 - \mathrm{sin}{x} \cdot \frac{1}{2}h \right\} \\
&= \mathrm{cos}{x} = 右辺
\end{align}
\]
\[
\huge{Q.E.D.}
\]
\(\mathrm{tan}'{x} = \frac{1}{\mathrm{cos}^2{x}}\)の証明
商の微分法を使えば証明できる。
\[
\begin{align}
左辺 = \mathrm{tan}'{x} &= (\mathrm{sin}{x})'\left(\frac{1}{\mathrm{cos}{x}}\right) + (\mathrm{sin}{x})\left(\frac{1}{\mathrm{cos}{x}}\right)' \\
&= \mathrm{cos}{x}\left(\frac{1}{\mathrm{cos}{x}}\right) + (\mathrm{sin}{x})\left(-\frac{-\mathrm{sin}{x}}{\mathrm{cos}^2{x}}\right) \\
&= 1 + \frac{\mathrm{sin}^2{x}}{\mathrm{cos}^2{x}} \\
&= \frac{\mathrm{cos}^2{x} + \mathrm{sin}^2{x}}{\mathrm{cos}^2{x}} \\
&= \frac{1}{\mathrm{cos}^2{x}} = 右辺
\end{align}
\]
\[
\huge{Q.E.D.}
\]
対数関数の導関数
\[
\begin{gather}
(\mathrm{log}_a{x})' = \frac{1}{x\mathrm{log}_e{a}} \\
(\mathrm{log}_e{x})' = \frac{1}{x}
\end{gather}
\]
\((\mathrm{log}_a{x})' = \frac{1}{x\mathrm{log}_e{a}}\)の証明
\[
左辺 = (\mathrm{log}_a{x})' = \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{log}_a(x+h) - \mathrm{log}_xx}{h}
\]
ここで対数の性質(\(\mathrm{log}_aM - \mathrm{log}_aN = \mathrm{log}_a\frac{M}{N}\))を使って式を変形する。
\[
= \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{log}_a(\frac{x+h}{x})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\mathrm{log}_a(\frac{x+h}{x})
\]
\(\frac{h}{x} = t\)とおくと\(h \to 0\)のとき\(t \to 0\)、また\(h = xt\)なので、
\[
= \lim_{t \to 0} \frac{1}{xt}\mathrm{log}_a(1+t) = \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \mathrm{log}_a(1+t)^{\frac{1}{t}}
\]
ここで、以下の極限は無限小数の定数に収束する。この値をネイピア数\(e\)という。
\[
\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = 2.7182818... = e
\]
この結果を使うと、
\[
= \frac{1}{x} \mathrm{log}_ae
\]
ここで対数の底の変換公式(\(\mathrm{log}_ab = \frac{\mathrm{log}_cb}{\mathrm{log}_ca}\))を使って式を変形する。
\[
= \frac{1}{x} \frac{\mathrm{log}_ee}{\mathrm{log}_ea} = \frac{1}{x\mathrm{log}_ea} = 右辺
\]
\[
\huge{Q.E.D.}
\]
\((\mathrm{log}_e{x})' = \frac{1}{x}\)の証明
\((\mathrm{log}_a{x})' = \frac{1}{x\mathrm{log}_e{a}}\)の\(a\)を\(e\)に置き換えれば証明できる。
\[
(\mathrm{log}_e{x})' = \frac{1}{x\mathrm{log}_e{e}} = \frac{1}{x}
\]
\[
\huge{Q.E.D.}
\]
指数関数の導関数
\[
(e^x)' = e^x
\]
\((e^x)' = e^x\)の証明
\(y=e^x\)とすると
\[
x = \mathrm{log}_ey
\]
この両辺を\(y\)で微分する。
\[
\begin{align}
\frac{dx}{dy} &= \frac{d}{dy}\mathrm{log}_ey \\
&= \frac{1}{y}
\end{align}
\]
よって
\[
左辺 = (e^x)' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = y = e^x = 右辺
\]
\[
\huge{Q.E.D.}
\]