2 点間の距離

点\((x_1, y_1)\)と点\((x_2, y_2)\)の距離は以下である。

\[ 距離 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

証明する

ピタゴラスの定理を知っていれば、2 つの点の間の距離を求めることができる。

これは結局直角三角形で、\(c\)の値が距離なのだ。

2 点の座標がわかっていれば、辺\(a\)の長さと辺\(b\)の長さを求めることができる。

\[ \begin{align} a &= |x_2 - x_1| \\ b &= |y_2 - y_1| \end{align} \]

辺\(c\)に関してピタゴラスの定理を当てはめる。

\[ \begin{align} c^2 &= a^2 + b^2 \\ &= (|x_2 - x_1|)^2 + (|y_2 - y_1|)^2 \end{align} \]

整数を 2 乗した結果は絶対に正の整数なので、邪魔な絶対値の記号は外しておく。

\[ \begin{align} c^2 &= (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \end{align} \]

平方根をつければ\(c\)の値が求まるのだが…。

\[ c = \pm\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

c は距離であることを考えるとマイナスはありえない。(\(c \geqq 0\))

よってマイナスの値を除外する。

\[ c = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

一応繰り返すが c は距離だ。

\[ \huge{Q.E.D.} \]