ピタゴラスの定理 (三平方の定理)

ピタゴラスの定理とは、中学校で流行っているやつである。

斜辺の長さが\(c\)、残りの2辺の長さが\(a\)、\(b\)の直角三角形は以下が成立するのである。

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

証明する

2 つの三角形について、以下のいずれかの条件を満たすと、相似である。相似とはつまり一方の三角形の大きさを\(n\)倍するともう一方の三角形と完全一致するのである。

\(\triangle ABC\)と\(\triangle DEF\)が相似のとき、以下のように表現する。

\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF \]

Note

数学の世界で三角形同士が相似であるときは∽の記号を使うが、latex の世界にこの記号はないらしい。

C から辺 AB に向かって垂直な線を引いたときの辺 AB との交点を H としている。

\(\triangle ABC\)と\(\triangle HBC\)は2 組の角が等しい(\(\beta\), \(90^\circ\))ので相似である。(\(\triangle ABC \sim \triangle HBC\))

\(\triangle ABC\)と\(\triangle HBC\)が相似ということは3 組の辺の比がすべて等しいということなので、以下が成り立つ。

\[ \begin{align} AB : BC &= BC : BH \\ BC^2 &= AB \cdot BH \\ a^2 &= c \cdot BH \end{align} \]

また、\(\triangle BAC\)と\(\triangle HAC\)は2 組の角が等しい(\(\alpha\), \(90^\circ\))ので相似である。(\(\triangle BAC \sim \triangle HAC\))

同様に、以下が成り立つ。

\[ \begin{align} AB : AC &= AC : AH \\ AC^2 &= AB \cdot AH \\ b^2 &= c \cdot AH \end{align} \]

これらをもとに、ピタゴラスの定理の左辺である\(a^2 + b^2\)を変形してみる。

\[ \begin{align} 左辺 = a^2 + b^2 &= c \cdot BH + c \cdot AH \\ &= c(BH + AH) \\ &= c \cdot c \\ &= c^2 = 右辺 \end{align} \]

\[ \huge{Q.E.D.} \]

ちなみにピタゴラスの定理の証明方法は 100 通りあるとか 200 通りあるとかないとか言われている。

キミも独自にピタゴラスの定理を証明して友達に差をつけよう！(自分はやらない)