テイラー展開とマクローリン展開
テイラー展開
テイラー展開は関数\(f(x)\)の付近\(f(x + \Delta{x})\)を多項式関数で近似する。
\[
f(x + \Delta{x}) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{(n)}(x)}{n!}{\Delta{x}^n}
\]
無限に足し算をするのは大変なので、有限の n 次で打ち切る。
\[
f(x + \Delta{x}) = f(x) + \frac{f'(x)}{1!}\Delta{x} + \frac{f''(x)}{2!}{\Delta{x}}^2 + \dots + \frac{f^{(n - 1)}(x)}{(n - 1)!}{\Delta{x}}^{n - 1} + O(|\Delta{x}|^n)
\]
有限の n で近似すると当然誤差が生まれるので、その誤差を補う\(O(|\Delta{x}|^n)\)という項を設けている。
マクローリン展開
\(x = 0\)のときのテイラー展開をマクローリン展開という。
\[
f(\Delta{x}) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}\Delta{x} + \frac{f''(0)}{2!}{\Delta{x}}^2 + \dots + \frac{f^{(n - 1)}(0)}{(n - 1)!}{\Delta{x}}^{n - 1} + O(|\Delta{x}|^n)
\]
\(\Delta{x}\)は\(x = 0\)の近所なので、以下のように書くことが多い。
\[
f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}{x}^2 + \dots + \frac{f^{(n - 1)}(0)}{(n - 1)!}{x}^{n - 1} + O(|x|^n)
\]