余弦定理

\[ \begin{gather} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\mathrm{cos}{A} \\ b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\mathrm{cos}{B} \\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\mathrm{cos}{C} \end{gather} \]

証明する

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\mathrm{cos}{A}\)を証明する。

ピタゴラスの定理と\(\mathrm{sin}^2\theta + \mathrm{cos}^2\theta = 1\)を知っていれば証明できる。

左辺\(a^2\)を考える。ピタゴラスの定理より、

\[ a^2 = BH^2 + CH^2 \]

\(BH\)と\(CH\)を考える。

\[ \begin{align} BH &= |c-b\mathrm{cos}A| \\ CH &= b\mathrm{sin}A \end{align} \]

よって、

\[ \begin{align} 左辺 = a^2 &= (c - b\mathrm{cos}A)^2 + (b\mathrm{sin}A)^2 \\ &= c^2 - 2bc\mathrm{cos}A + b^2\mathrm{cos}^2A + b^2\mathrm{sin}^2A \\ &= c^2 - 2bc\mathrm{cos}A + b^2(\mathrm{cos}^2A + \mathrm{sin}^2A) \\ &= c^2 - 2bc\mathrm{cos}A + b^2 \\ &= b^2 + c^2 - 2bc\mathrm{cos}A = 右辺 \end{align} \]

\[ \huge{Q.E.D.} \]

あと 2 つ残ってるけど同じように考えればたぶんいける。