三角関数の加法定理
\[
\begin{gather}
\mathrm{sin}(\alpha + \beta) = \mathrm{sin}\alpha\mathrm{cos}\beta + \mathrm{cos}\alpha\mathrm{sin}\beta \\
\mathrm{sin}(\alpha - \beta) = \mathrm{sin}\alpha\mathrm{cos}\beta - \mathrm{cos}\alpha\mathrm{sin}\beta \\
\mathrm{cos}(\alpha + \beta) = \mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta - \mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta \\
\mathrm{cos}(\alpha - \beta) = \mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta + \mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta \\
\end{gather}
\]
証明
\(\mathrm{cos}(\alpha - \beta) = \mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta + \mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta\)の証明
単位円上に点\(P\)(\(x\)軸とのなす角は\(\alpha\))と点\(Q\)(\(x\)軸とのなす角は\(\beta\))があったときの辺\(PQ\)に注目する。
まず点\(P\)と点\(Q\)について、2 点間の距離を考える。
点\(P\)の座標\(\vec{P}\)と点\(Q\)の座標\(\vec{Q}\)を求めておく。
\[
\begin{gather}
\vec{P} = (\mathrm{cos}\alpha, \mathrm{sin}\alpha) \\
\vec{Q} = (\mathrm{cos}\beta, \mathrm{sin}\beta)
\end{gather}
\]
2 点間の距離の公式を使うと、辺\(PQ\)の長さ\(|PQ|\)を求めることができる。
\[
|PQ| = \sqrt{(\mathrm{cos}\beta - \mathrm{cos}\alpha)^2 + (\mathrm{sin}\beta - \mathrm{sin}\alpha)^2}
\]
平方根が邪魔なので、両辺を 2 乗する。
\[
\begin{align}
|PQ|^2 &= (\mathrm{cos}\beta - \mathrm{cos}\alpha)^2 + (\mathrm{sin}\beta - \mathrm{sin}\alpha)^2 \\
&= (\mathrm{cos}^2\beta -2\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta + \mathrm{cos}^2\alpha) + (\mathrm{sin}^2\beta -2\mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta + \mathrm{sin}^2\alpha) \\
&= (\mathrm{sin}^2\alpha + \mathrm{cos}^2\alpha) + (\mathrm{sin}^2\beta + \mathrm{cos}^2\beta) -2\mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta - 2\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta
\end{align}
\]
\(\mathrm{sin}^2\theta + \mathrm{cos}^2\theta = 1\)だから、
\[
\begin{align}
|PQ|^2 &= 1 + 1 -2\mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta - 2\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta \\
&= 2 - 2(\mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta + \mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta) \\
&= 2 - 2(\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta + \mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta)
\end{align}
\]
ここで気分を変えて、\(\triangle POQ\)に対して余弦定理を適用してみる。
着目する辺は\(PQ\)で、なす角\(\angle POQ = \alpha - \beta\)である。
\[
|PQ|^2 = |OP|^2 + |OQ|^2 - 2|OP||OQ|\mathrm{cos}(\alpha - \beta)
\]
単位円を考えているので\(|OP| = |OQ| = 1\)である。これを使って整理すると、
\[
\begin{align}
|PQ|^2 &= 1 + 1 - 2\cdot 1 \cdot 1 \cdot\mathrm{cos}(\alpha - \beta) \\
&= 2 - 2\mathrm{cos}(\alpha - \beta)
\end{align}
\]
2 点間の距離で算出した\(|PQ|^2\)と変数の項を見比べると、
\[
\mathrm{cos}(\alpha - \beta) = \mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta + \mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta
\]
\[
\huge{Q.E.D.}
\]
\(\mathrm{cos}(\alpha + \beta) = \mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta - \mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta\) の証明
上で証明した式と角度がマイナスの sin cos tanを知っていれば証明できる。
\[
\begin{align}
左辺 &= \mathrm{cos}(\alpha + \beta) \\
&= \mathrm{cos}(\alpha - (-\beta)) \\
&= \mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}(-\beta) + \mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}(-\beta) \\
&= \mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta + \mathrm{sin}\alpha(-\mathrm{sin}\beta) \\
&= \mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta - \mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta = 右辺
\end{align}
\]
\[
\huge{Q.E.D.}
\]