ベクトル解析
ベクトルとは
大きさだけを持つものをスカラー(scalar)という。\(1\)はスカラーである。これに対しベクトル(vector)は大きさと向きを持つ。\((1, 1)\)はベクトルである。
ベクトルの表記
以下はベクトルである。高校ではこの表現が多い。
\[
\vec{A} = (a_1, a_2, a_3)
\]
大学では上のような表現は使わず、以下を使う。
\[
\boldsymbol{A} = (a_1, a_2, a_3)
\]
単位ベクトル
大きさが 1 のベクトルを単位ベクトルという。
基本ベクトル
\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸の正の方向に向いた単位ベクトルを基本ベクトルという。
\((1, 0, 0)\)、\((0, 1, 0)\)、\((0, 0, 1)\)は基本ベクトルである。
列ベクトルと行ベクトル
以下は列ベクトルまたは横ベクトルという。
\[
\boldsymbol{A} = (a_1, a_2, a_3)
\]
以下は行ベクトルまたは縦ベクトルという。
\[
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}
\]
列ベクトルと行ベクトルは見た目が違うだけでどちらも同じ意味である。
内積 (inner product)
以下の計算を内積という。
\[
\begin{align}
\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \\
\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|\cos{\theta}
\end{align}
\]
\(\theta\)はベクトル\(\boldsymbol{A}\)と\(\boldsymbol{B}\)の間の角度である。
内積の結果はスカラーになる。
外積 (outer product)
以下の計算を外積という。
\[
\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix} \\
\]
外積の結果はベクトルになる。
外積の大きさは以下。
\[
|\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|\sin{\theta}
\]
外積の計算の仕方は以下が参考になる。
【外積】間違わない 3 次元ベクトルの外積計算（初心者向け） | ばたぱら
計算してみるとわかるが、以下の性質がある。
\[
\begin{gather}
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{A} &= 0 \\
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{B} &= 0
\end{gather}
\]
\(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}\)という外積で出したベクトルをベクトル\(\boldsymbol{C}\)として書き直す。さらに内積の式もくっつけてみる。
\[
\begin{gather}
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{A} &= \boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{A} = |\boldsymbol{C}||\boldsymbol{A}|\cos{\theta} = 0 \\
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{B} &= \boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{B} = |\boldsymbol{C}||\boldsymbol{B}|\cos{\phi} = 0 \\
\end{gather}
\]
\(\cos\)の値が 0 となる角度は\(90^\circ\)だから、ベクトル\(\boldsymbol{C}\)は、\(\boldsymbol{A}\)と直交しており、\(\boldsymbol{B}\)とも直交していることがわかる。
つまり\(\boldsymbol{A}\)と\(\boldsymbol{B}\)の外積\(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}\)は\(\boldsymbol{A}\)とも\(\boldsymbol{B}\)とも直交しているのだ。
以下も成り立つ。
\[
\begin{gather}
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{A}) &= \boldsymbol{0} \\
|\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{A}| &= 0
\end{gather}
\]
同じベクトルのなす角\(\theta = 0\)から説明できるし、外積の式から計算して説明することもできる。
スカラー場
位置\(\boldsymbol{r} = (x, y, z)\)を 1 つ定めることで１つの実数(スカラー量)が決まるような物理量をスカラー場と呼ぶ。
\[
f(\boldsymbol{r}) = f(x, y, z)
\]
偏微分
\(y\)と\(z\)を定数だと考えて、\(x\)で微分したものを、\(x\)の偏微分という。
\[
\begin{gather}
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{f(x + \Delta{x}, y, z) - f(x, y, z)}{\Delta{x}} \\
\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta{y} \to 0} \frac{f(x, y + \Delta{y}, z) - f(x, y, z)}{\Delta{x}} \\
\frac{\partial f}{\partial z} = \lim_{\Delta{z} \to 0} \frac{f(x, y, z + \Delta{z}) - f(x, y, z)}{\Delta{x}}
\end{gather}
\]
全微分公式
位置\(\boldsymbol{r} = (x, y, z)\)から位置\(\boldsymbol{r} + \boldsymbol{\Delta{r}} = (x + \Delta{x}, y + \Delta{y}, z + \Delta{z})\)に移動したとき、\(f\)の値の変化を考える。
\[
\begin{align}
\Delta{f} &= f(x + \Delta{x}, y + \Delta{y}, z + \Delta{z}) - f(x, y, z) \\
&= \frac{\partial f}{\partial x} \Delta{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta{y} + \frac{\partial f}{\partial z} \Delta{z} + ({\Delta の2次以上の誤差項}) \\
&\approx \frac{\partial f}{\partial x} \Delta{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta{y} + \frac{\partial f}{\partial z} \Delta{z}
\end{align}
\]
\(\Delta{x}\)、\(\Delta{y}\)、\(\Delta{z}\)を限り無く小さくすると以下になる。
\[
{df} = \frac{\partial f}{\partial x}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y}{dy} + \frac{\partial f}{\partial z}{dz}
\]
勾配(gradient)、ナブラ (nabla)
以下はスカラー場\(f(x, y, z)\)の勾配である。
\[
\mathrm{grad}{f} = \nabla{f} = (\frac{\partial{f}}{\partial{x}}, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}, \frac{\partial{f}}{\partial z})
\]
スカラー場の勾配はベクトル場である。
発散 (divergence)
ベクトル場\(\boldsymbol{E} = (E_{x}, E_{y}, E_{z})\)としたとき、以下を\(\boldsymbol{E}\)の発散という。
\[
\mathrm{div} \boldsymbol{E} = \nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\partial E_{x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{y}}{\partial y} + \frac{\partial E_{z}}{\partial z}
\]
ベクトル場の線に沿って動いたときのベクトル場の大きさの変化量を示す。
回転、循環 (rotation)
ベクトル場\(\boldsymbol{E} = (E_{x}, E_{y}, E_{z})\)としたとき、\(∇\)と外積を取るとベクトルの回転を得ることができる。
\[
\mathrm{rot} \boldsymbol{E} = \nabla \times \boldsymbol{E} = (\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z}, \frac{\partial E_{x}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}, \frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y})
\]